Définition

Définition :
Soit \(f:I\to J\)
\(f\) est dite convexe si $$\forall (x,y)\in I^2, \forall \lambda\in[0,1], f\big ((1-\lambda)x+\lambda y\big ) \leqslant (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$

Notions liées

Concavité
Point d’inflexion
Lemme des trois pentes

Exercices

Consigne: Donner un système d'inéquations linéaires dont l'ensembles de solutions est le carré unité

$$\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant1\\ -1\leqslant y\leqslant1\end{cases}$$

(Carré unité)

START
Exo-Démo
Consigne: Soient \(A(1,2)\), \(B(4,1)\) et \(C(3,4)\) trois points du plan euclidien
Donner un système d'inéquations linéaires dont la solution est l'intérieur du triangle \(\triangle ABC\)

1: Équation de \((AC)\) : \(-x+y=1\)
Le point \(B\) est tel que \(-x+y=-3\lt 1\)
Donc le demi-plan de bord \((AC)\) contenant \(B\) admet l'équation $$-x+y\leqslant1$$
De même, l'équation du demi-plan de bord \((AB)\) contenant \(C\) et l'équation du demi-plan de bord \((BC)\) contenant \(A\) admettent respectivement comme équation : $$x+3y\geqslant7\quad\text{ et }\quad3x+y\leqslant13$$
1i: Équation des différents demi-plans
2: L'équation de \((ABC)\) est donc : $$\begin{cases}-x+y\leqslant1\\ x+3y\geqslant7\\ 3x+y\leqslant13\end{cases}$$END

(Paramétrisation - Paramétrage)